If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Якщо у вас увімкнена веб-фільтрація, будь ласка, переконайтеся, що домени *.kastatic.org та *.kasandbox.org розблоковані.

Основний вміст

Знайомство із рівнянням прямої вигляду y=kx+b

Дізнайтеся про одну із форм подання рівняння прямої, яка використовує для задання прямої два числа – одне, яке відповідає за кут нахилу прямої, а інше – за точку перетину прямої з віссю Оу.

Перед зануренням в цю тему переконайтесь, що:

Що ми дізнаємось:

  • Як описати пряму рівнянням з двома змінними, записаним у формі y=kx+b
  • Як знайти кутовий коефіцієнт та перетин з OY користуючись даною формою рівняння
  • Як знайти рівняння прямої, якщо нам відомі її кутовий коефіцієнт, а також де вона перетинається з віссю OY

Що ж це за форма рівняння така?

Річ в тім, що ми можемо задати пряму, скориставшись лінійним рівнянням (власне тому такі рівняння і називають лінійними). І якщо пряма не є вертикальною, то її можна описати з допомогою от такого рівняння:
y=kx+b
На місці k та b можуть стояти довільні дійсні числа. Наприклад, кожне з рівнянь, записаних нижче, подане саме в цій формі:
  • y=2x+1
  • y=3x+2.7
  • y=10100x
Водночас, рівняння, подані нижче, також описують прямі. Однак вони не подані в формі y=kx+b:
  • 2x+3y=5
  • y3=2(x1)
  • x=4y7
Коли ми дивимось на прямі з точки зору алгебри – зазвичай ми використовуємо саме цю форму рівняння прямої. Копнімо трішки глибше, щоб зрозуміти чому це так зручно:

Що показують коефіцієнти k та b?

Окрім того, що форма y=kx+b настільки проста, наскільки це можливо, у неї є ще одна значна перевага — коефіцієнти k та b несуть інформацію про важливі характеристики прямої:
  • k відповідає за кут нахилу прямої, показуючи відношення між зміною координат y та x. Називають це число кутовим коефіцієнтом.
  • b показує y-координату точки, в якій пряма перетинається з віссю OY. Іншими словами, пряма перетинається з OY в точці (0;b).
До прикладу, пряма y=2x+1 має кутовий коефіцієнт 2 та перетинається з OY в (0;1):
Зручно ж, чи не так? Одразу з рівняння можемо бачити нахил та висоту прямої.

Перевірте свої знання

Задача 1
Який кутовий коефіцієнт прямої, описаної рівнянням y=5x7?
  • Ваша відповідь має бути
  • ціле число, як 6
  • правильний спрощений дріб, як 3/5
  • спрощений неправильний дріб, як 7/4
  • змішане число, наприклад, 1 3/4
  • скінчений десятковий дріб, як 0.75
  • кратне Пі, як 12 pi або 2/3 pi

Задача 2
Який кутовий коефіцієнт прямої, описаної рівнянням y=x+9?
  • Ваша відповідь має бути
  • ціле число, як 6
  • правильний спрощений дріб, як 3/5
  • спрощений неправильний дріб, як 7/4
  • змішане число, наприклад, 1 3/4
  • скінчений десятковий дріб, як 0.75
  • кратне Пі, як 12 pi або 2/3 pi

Задача 3
Які координати точки перетину прямої y=6x11 з віссю OY?
Оберіть одну відповідь:

Задача 4
Які координати точки перетину прямої y=4x з віссю OY?
Оберіть одну відповідь:

Приклад 5
Який кутовий коефіцієнт прямої, яка описується рівнянням y=18x?
  • Ваша відповідь має бути
  • ціле число, як 6
  • правильний спрощений дріб, як 3/5
  • спрощений неправильний дріб, як 7/4
  • змішане число, наприклад, 1 3/4
  • скінчений десятковий дріб, як 0.75
  • кратне Пі, як 12 pi або 2/3 pi

Приклад 6
Які з прямих перетинаються з OY в точці (0;4)?
Оберіть всі відповіді, які підходять:

Перевірте себе
Як ми шукаємо кутовий коефіцієнт прямої, що задана рівнянням у формі y=kx+b?
Оберіть одну відповідь:

Приклад 1
Яке з поданих нижче рівнянь може бути рівнянням прямої?
Оберіть одну відповідь:

Приклад 2
Запишіть рівняння прямої, кутовий коефіцієнт якої 10 і яка перетинається з віссю OY в точці з координатами (0;20).

Чому це працює?

Можливо вас здивувало, як так виходить, що в рівнянні y=kx+b, щоразу k описує нахил прямої, а b завжди показує перетин з OY.
Можливо це якась магія? Звісно ж, це не магія. Математика завжди має обґрунтування навіть для речей, які, здавалося б, неможливо пояснити. В наступному блоці ми поглянемо на ці властивості, взявши за приклад рівняння y=2x+1.

Чому коефіцієнт b — це перетин з OY?

Ви ж пам'ятаєте, що для того, щоб знайти y-координату перетину графіку з віссю OY — потрібно підставити 0 замість x в наше рівняння y=2x+1, та знайти, яким при цьому стане значення y. Адже всі точки на осі OY мають x-координату 0.
y=2x+1=20+1Підставляємо x=0=0+1=1
Бачимо, що в точці, де пряма перетинається з OY, доданок 2x стає нулем, а отже виходить, що y=1.

Чому k описує нахил прямої?

Пригадаймо спершу, а як же ми можемо описати нахил прямої, та що показує кутовий коефіцієнт (який, власне, в цьому нам і допомагає). Кутовий коефіцієнт — це відношення зміни y до зміни x між двома довільними точками на прямій.
Кутовий коефіцієнт=Зміна yЗміна x
Якщо взяти дві точки, x-координата яких відрізняється рівно на 1, то кутовий коефіцієнт покаже зміну y-координати. Тобто, насправді, кутовий коефіцієнт показує те, на скільки змінюється y зі зміною x на 1.
Кутовий коефіцієнт=Зміна y1=Зміна y при зміні x на 1
А тепер погляньмо, що трапиться зі значеннями y, якщо ми будемо постійно збільшувати значення x у рівнянні y=2x+1 на одиницю.
xy
01+02=1
11+12=1+2
21+22=1+2+2
31+32=1+2+2+2
41+42=1+2+2+2+2
Ми бачимо, що щоразу, коли x зростає на 1, y зростає на 2. Так відбувається тому, що приріст x збільшується вдвічі завдяки множнику 2 при розрахунку y.
Тож, як ми вже переконались, зміна y, що відповідає зміні x на одиницю, дорівнює кутовому коефіцієнту прямої. Отже, ми можемо стверджувати, що кутовий коефіцієнт в нашому випадку це 2.
Складніше завдання 3
Складіть рівняння прямої, зображеної на малюнку.
y=

Бажаєте доєднатися до обговорення?

Ще немає коментарів.
Знаєте англійську? Натисніть сюди, аби побачити більше обговорень на англомовній версії Академії Хана.