Що таке функція?

Зараз я буду використовувати самі абстрактні терміни. Функція - це дещо, що приймає вхідні дані, аналізує їх, і потім перетворює їх у щось інше. І в залежності від того, що собою являють ці дані, функція дає певні вихідні дані. Що є прикладом функції? Я можу мати таке f від х... це х зазвичай є змінною, що використовується для позначення вхідних даних функції. А літера f найбільш часто використовується у якості найменування функцїї. Ми побачимо, що можна використовувати інші... дорівнює, скажемо, х у квадраті, якщо х - парне. І, якщо непарне, то дорівнює х + 5. Що станеться, якщо ми дамо цій функції число 2. Щоб показати, що ми даємо 2 на вхід цієї функції, що ми будемо обчислювати функцію від 2, записуємо так. Цей запис каже: "Давайте подамо на вхід функції число 2". І там, де ми бачимо х, нашу змінну, (немов ви використовуєте заглушку), давайте замінимо на наші вхідні дані, на 2. Дивиться. Якщо 2 - парне, підносимо до квадрату. Якщо 2 - непарне, додаємо 2 + 5. 2 в дійсності парне, тож ми підносимо 2 до квадрату. В цьому випадку f(2) дорівнює 2 у квадраті, або 4. Чому буде дорівнювати f від 3? Ще раз, там, де ми бачимо цю змінну, ми заміняємо її на наші вхідні дані. f від 3 = піднести 3 до квадрату, якщо 3 - парне, або 3+5, якщо 3 - непарне. 3 - непарне, тож додаємо 3+5. Буде 8. Ви думаєте - все зрозуміло, Сал. Це такий досить цікавий спосіб задавати функцію, спосіб обробляти ці числа. Але я міг би визначити функцію за допомогою звичайних рівнянь якимось чином, особливо якщо ви дозволили мені використовувати фігурну дужку. Що може функція зробити це, можливо мої традиційні інструменти не такі виразні? Добре, ви навіть можете зробити таку функцію. Тепер я не буду використовувати f і х, просто щоб показати вам більш загальний запис функції. Я можу сказати, що h від а дорівнює наступному більшому числу, назва якого починається з тієї ж літери, що й змінна а. При цьому ми припускаємо, що мова йде про англійську. При цих умовах, чому буде дорівнювати h(2)? 2 (two) починається з літери Т. Яке наступне більше число починається з Т? Здається, це буде 3 (three). Тепер, чому дорівнюватиме h від... я не знаю, наприклад... h від 8? Отже, 8 (eight) починається з Е. Наступне більше число, яке починається на Е... ні 9, ні 10... це буде 11 (eleven). Тож ви бачите, що це дуже, дуже, дуже загальний інструмент. Це функція h, яку ми щойно визначили. Дивимося на першу літеру назви числа, пам'ятаємо, мова англійська. Тож це дуже, дуже, дуже, дуже, безглузда річ. Не всі функції такі безглуздими. Фактично, ви вже мали справу з функціями. Ви вже бачили записи типу y=x+1. Цей запис можна розглядати як функцію. Ми можемо записати це, як у - функція від х, яка дорівнює х + 1. Якщо ви дасте функції вхідні дані - давайте я запишу це таким чином - наприклад, коли х = 0, ми можемо сказати, що f від 0 буде... ви берете 0 і додаєте до нього 1. Отримуєте 1. f від 2 дорівнює 2. Ви вже робили це раніше. Ви вже робили таке, дивіться, я зроблю таблицю х-ів та у-ів Коли х = 0, у = 1. Вибачте. Я трохи помилився. Тут f від 2 дорівнює 3. Ви вже робили це з таблицями. Дивіться, х і у. Коли х = 0, у = 1. Коли х = 2, у = 3. Ви скажете: "Що ж, але чи цей спосіб запису функції існує лише для того, щоб сказати що f від х дорівнює х+1?" Сенс у тому, щоб думати про функцію, використовуючи більш загальні терміни Для чогось на кшталт цього вам не треба використовувати функціональний запис. Але так простіше пояснити функціональну нотацію, тому що стає дуже ясно, що функція бере вхідні дані, бере наш х, в цьому визначенні, переробляє їх, і каже, так, х + 1. І тоді видає на 1 більше. Тут, щоб ви не дали цій функції, вихід буде на 1 більше, ніж оригінал. Я знаю, яке в вас питання. Добре. А що тоді не є функцією? Пам'ятаєте, ми казали, що функція - це дещо, що бере вхідні дані і "виробляє" з них вихідні дані, єдино можливі для таких вхідних. Наприклад... дайте-но я цього разу візуально представлю функцію, або відношення, я би сказав, тож нехай це буде наша ось Y, а ось тут - наша ось Х. Я накреслю коло, яке має радіус 2. Коло з радіусом 2. Це від'ємна 2. Це додатна 2. Це від'ємна 2. Це моє коло, центроване в оригіналі. Його радіус 2. Я намагався зробити якнайкраще. Заповню його. Отже, маємо коло. Рівняння, що описує це коло, буде Х у квадраті плюс Y у квадраті дорівнює квадрату радіуса, дорівнює 2 в квадраті, або 4. Питання в тому, чи є функцією це відношення Х та Y... ...я записав його як рівняння... Тут візуально зображені всі х-си та у-ки, які задовольняють це рівняння... Тож, чи є це відношення функцією? Ми можемо візуально бачити, що це не функція. Ви берете Х. Скажемо, х = 1. Є два можливі у-ки, що пов'язані з ним, оцей у-ик зверху, і цей - знизу. Ми навіть можемо обчислити їх, дивлячись на рівняння. Коли х=1, маємо 1 у квадраті плюс Y у квадраті, і дорівнює 4. 1 + Y^2 = 4. Віднімемо 1 від обох частин рівняння, отримаємо Y^2=3. Або Y дорівнює додатному і від'ємному кореню з 3. Ця точку - це додатний квадратний корінь з 3, а ця - від'ємний квадратний корінь з 3. В цій ситуації, таке відношення, коли я подаю 1 в цей маленький ящик, і зв'язаними з 1 будуть і додатний квадратний корінь з 3, і від'ємний квадратний корінь з 3 таке відношення - не функція. Я не можу пов'язувати з моїми вхідними даними два різних вихідних. Для кожного числа на вході повинно бути одне на виході. Переклад на українську: Віра Дрига, рев'ювер: Оксана Кузьменко, благодійний фонд "Magneticone.org"