If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Якщо у вас увімкнена веб-фільтрація, будь ласка, переконайтеся, що домени *.kastatic.org та *.kasandbox.org розблоковані.

Основний вміст

Приклади спільного знаменника

Приклади спільного знаменника. Автор: Сал Хан.

Бажаєте доєднатися до обговорення?

Ще немає дописів.
Розумієте англійську мову? Натисніть сюди, щоб побачити більше обговорень на англомовній версії сайту Khan Academy.

Текст відео

Вітаю! На цьому уроці ми розглянемо завдання на подільність чисел, яке нерідко можна побачити у контрольних роботах та на екзаменах. В умові сказано: «Усі числа, що діляться і на 12, і на 20, також діляться на…». І щоб виконати це завдання, ми повинні розуміти, що число ділиться і на 12, і на 20 лише в тому випадку, коли воно ділиться на всі прості множники кожного з цих чисел. Отже, спочатку ми маємо розкласти на множники числа 12 і 20. Почнемо з 12. 12 – це 2*6, а 6, у свою чергу, дорівнює 2*3. 2 і 3 – це прості числа, а отже, ми розклали 12 на прості множники. Таким чином, щоб число було кратне 12, воно має бути кратне добутку 2*2*3. 12 – це те саме, що і 2*2*3. А отже, будь-яке число, яке містить у собі цей добуток, ділиться на 12. А щоб число ділилося на 20, воно має ділитися на… давайте розкладемо ще й 20 на прості множники. 20=2*10, 10=2*5. Отже, будь-яке число, що кратне 20, повинно ділитися на 2*2*5. Або ж, іншими словами, число повинно містити у собі дві двійки і одну п’ятірку. Якщо ж число ділиться і на 12, і на 20, то до його складу мають входити дві двійки, одна трійка і одна п’ятірка. Дві двійки і одна трійка для того, щоб число ділилося на 12. І дві двійки і одна п’ятірка для того, щоб число ділилося на 20. Можете перевірити, цей добуток насправді кратний і 12, і 20. А давайте саме зараз це перевіримо. Поділити на 20 – це те саме, що поділити на 2*2*5. Тоді ці двійки скоротяться, ці двійки також, і п’ятірки скоротяться. У знаменнику буде 1, а в чисельнику залишиться лише ця трійка. Отже, цей добуток дійсно ділиться на 20. А тепер подивимося, чи ділиться цей добуток на 12. Поділити на 12 – це те саме, що і поділити на 2*2*3. 2*2*3=12. Тоді це все у результаті скоротиться, і залишиться лише п’ятірка. Отже, цей добуток точно ділиться і на 12. А чому дорівнює цей добуток? Давайте подивимося: 4*3=12, 12*5=60. Це число насправді становить найменше спільне кратне 12 і 20. Проте, як ви здогадуєтеся, це не єдине число, яке ділиться і на 12, і на 20. Ми можемо справа дописати безліч множників, назвемо їх а, b і с. Але 60 – це найменше число, яке кратне і 12, і 20. Будь-яке інше більше кратне буде також ділитися і на 60. А тепер давайте спробуємо доповнити речення, що в нас в умові. Усі числа, що діляться і на 12, і на 20, також діляться на… Ми не знаємо, які саме це в нас числа, можливо, їх взагалі немає. Це може бути число 60, а може бути 120. Хтозна, що це за числа. Отже, єдиними числами, на які, ми точно знаємо, ділиться дане число, є 2… Очевидно, що на 2 добуток 2*2*3*5 дійсно ділиться. Також ми знаємо, що цей добуток ділиться і на 2*2, оскільки 2*2 входить до складу цього добутку. Цей добуток також ділиться на 3, на 2*3, тобто на 6. Давайте запишемо, що це в нас 4, а це 6. Також цей добуток кратний добутку 2*2*3. Загалом ми можемо сказати, що це число (цей добуток) ділиться на будь-яку комбінацію з цих чисел (множників). Отже, продовжуємо список дільників числа 60. 60 також кратне 3*5, 2*3*5. Таким чином, ми можемо сказати: число, що кратне і 12, і 20, буде ділитися на будь-яку комбінацію цих простих множників. І, скажімо, у завданні є наступні варіанти відповіді. Це число 7, 9, 15 і 8. 7 нам не підходить, цього числа немає серед простих множників ось тут. А як щодо 9? 9 – це 3*3. Отже, щоб число було кратне 9, воно має містити у собі щонайменше дві трійки. А в нас трійка лише одна. Отже, 9 нам також не підходить. Викреслюємо і 7, і 9. Наступний варіант – 15. 15 – це те саме, що і 3*5. Серед наших множників є і трійка, і п’ятірка. А це означає, що дане число кратне 15. Число 15 нам підходить. Залишилося перевірити, чи ділиться наше число на 8. 8 – це 2*2*2. Щоб число ділилося на 8, серед його простих множників має бути щонайменше три двійки, а в нас їх лише дві. Отже, і 8 нам не підходить. Розглянемо ще одне подібне завдання, щоб ви остаточно в усьому розібралися. Отже, завдання: усі числа, що діляться на 9 та 24, також діляться на... І знову-таки починаємо з того, що розкладуємо обидва числа на прості множники. Запишемо найменше спільне кратне чисел 9 та 24. 9 – це 3*3. Ось ми і розклали 9 на прості множники. Тепер на черзі число 24. 24 – це 2*12, 12 - це 2*6, а 6 – це 2*3. Отже, число, яке ділиться на 9, має містити у собі дві трійки, 3*3. А число, кратне 24, має містити у собі три двійки… дописуємо зліва: 2*2*2. … і щонайменше одну трійку. І ця одна трійка в нас вже є. Отже, добуток, який ми щойно записали, ділиться і на 9, і на 24. Цей добуток дорівнює 72. Це 8*9, а 8*9=72. Тепер давайте запишемо ось тут праворуч варіанти відповіді до цього завдання. Нехай це буде 16, 27, 5, 11 і 9. 16 – це те саме, що і 2*2*2*2. Виходить, щоб число було кратне 16, воно повинно містити у собі щонайменше чотири двійки. А у нас тільки три двійки. Взагалі тут могла бути ще одна двійка, тут могли бути ще й інші числа, проте у даному випадку ми розглядаємо найменше спільне кратне чисел 9 та 24. Отже, наразі 16 не підходить нам. У нас тут немає чотирьох двійок. Ідемо далі. 27 – це 3*3*3. Серед простих множників числа 72 має бути щонайменше три трійки, щоб бути кратним 27. Проте в нас немає цих трьох трійок, їх лише дві, отже, число 72 не ділиться на 27. Викреслюємо і 27. 5 – це просте число. Серед простих множників 72 5 немає, а отже, 5 також нам не підходить. 11 знову-таки є простим числом. Тут, як бачите, 11 немає, а отже, викреслюємо і 11. Нарешті, число 9. 9 – це 3*3. Я тільки-но зрозуміла, що якось це безглуздо, адже число 9 нам дано в умові. Насправді 9 нам підходить, але і так очевидно, що всі числа, що діляться на 9 та 24, діляться і на 9. Тому давайте розглянемо ще один варіант. Нехай це буде 8. 8 нам підходить, оскільки 8 – це 2*2*2. Серед простих множників числа 72 у нас якраз три двійки. Число 4 також підходить, адже 4 – це те саме, що і 2*2. Дві двійки у нас тут є. 6 також є одним із можливих дільників. 6 – це 2*3. Як бачимо, серед простих множників є і 2, і 3. Те саме стосується і 18. 18 – це 2*3*3. Отже, будь-яка комбінація цих простих множників є дільником числа, що кратне і 9, і 24. Сподіваюсь, це все вам зрозуміло. А наразі все, і до зустрічі на наступному уроці!