If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Якщо у вас увімкнена веб-фільтрація, будь ласка, переконайтеся, що домени *.kastatic.org та *.kasandbox.org розблоковані.

Основний вміст

Розклад на множники методом групування

Дізнайтеся, як розкладати множники методом групування. Наприклад, можна використати групування, аби представити 2x²+8x+3x+12 як (2x+3)(x+4).

Важливо знати!

Щоб розкласти поліном на множники, потрібно представити його у вигляді добутку двох або більше поліномів. Це, у своїй суті, обернена дія до множення поліномів.
Ми вже розбирали декілька прикладів розкладання поліномів на множники. Для цієї теми, ви маєте знати, як виносити спільний множник за дужки, використовуючи розподільну властивість. Наприклад, 6x2+4x=2x(3x+2) .

Що ми дізнаємось:

В цьому конспекті ви дізнаєтесь, як розкладати поліноми на множники методом групування.

Приклад 1: Розкладіть на множники 2x2+8x+3x+12

Можемо помітити, що для всіх доданків полінома 2x2+8x+3x+12 немає спільного множника. Однак, якщо ми згрупуємо перший доданок з другим, а третій з четвертим, то для кожної групи зможемо виділити спільний множник.
(2x2+8x)перша група+(3x+12)друга група
Зокрема, для першої групи спільним множником є 2x, а для другої спільним множником є 3. Ми можемо їх винести за дужки, щоб отримати наступний вираз:
2x(x+4)+3(x+4)
Зверніть увагу, що тепер можна помітити ще один спільний множник із цих двох доданків: x+4. Використовуючи розподільну властивість, винесемо цей спільний множник за дужки.
2x(x+4)+3(x+4)=(x+4)(2x+3)
Оскільки поліном представлено у вигляді добутку двох біномів, вираз уже розкладений на множники. Ми можемо перевірити свою роботу, перемноживши та порівнявши результат з початковим поліномом.

Приклад 2: Розкладіть на множники 3x2+6x+4x+8

Підсумуємо наші знання, розклавши ще один поліном.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)Групуємо=3x(x+2)+4(x+2)Виносимо спільні множники=3x(x+2)+4(x+2)Ще один спільник множник!=(x+2)(3x+4)Виносимо за дужки x+2
Після розкладу на множники вираз має такий вигляд: (x+2)(3x+4).

Перевірте свої знання

1) Розкладіть на множники 9x2+6x+12x+8.
Оберіть одну відповідь:

2) Розкладіть на множники 5x2+10x+2x+4.

3) Розкладіть на множники 8x2+6x+4x+3.

Приклад 3: Розкладіть на множники 3x2+6x+4x+8

Будьте особливо уважними, застосовуючи метод групування до поліномів із від'ємними коефіцієнтами.
Наприклад, нижче показані кроки для розкладання на множники такого полінома: 3x26x4x+8.
0=3x26x4x+8(1)=(3x26x)+(4x+8)Групуємо(2)=3x(x2)+(4)(x2)Виносимо спільні множники(3)=3x(x2)4(x2)Спрощуємо(4)=3x(x2)4(x2)Спільний множник знайдено!(5)=(x2)(3x4)Виносимо за дужки x2
Вираз, розкладений на множники, матиме вигляд: (x2)(3x4). Ми можемо перемножити дужки, аби перевірити свій розв'язок.
Деякі кроки розв'язку можуть здаватись не такими, як у першому прикладі. Тому у вас могли виникнути питання.
Звідки взявся знак "+" між згрупованими частинами?
На (1) кроці, знак "+" був доданий між згрупованими частинами, (3x26x) і (4x+8). Це через те, що доданок (4x) має від'ємний знак, а знак цього доданка має бути врахований до згрупованої частини.
Якщо винесемо мінус за дужки, можемо втрапити у пастку! Наприклад, поширеною помилкою є групування 3x26x4x+8 як (3x26x)(4x+8). Однак, таке групування розкривається як 3x26x4x8, а це не рівне нашому початковому виразу.
Чому виносимо за дужки 4, а не 4?
На (2) кроці ми винесли за дужки 4, щоб виділити спільний множник (x2). Якби ми натомість винесли додатню 4, ми би не одержали цей спільний множник, як у розв'язку вище:
(3x26x)+(4x+8)=3x(x2)+4(x+2)
Коли перший доданок у групі є від'ємним, нам часто потрібно буде винести від'ємний спільний множник.

Перевірте свої знання

3) Розкладіть на множники 8x2+6x+4x+3.
Оберіть одну відповідь:

5) Розкладіть на множники 3x2+3x10x10.

6) Розкладіть на множники 3x2+6xx2.

Складніше завдання

7) Розкладіть на множники 2x3+10x2+3x+15.

Коли ми можемо застосовувати метод групування?

Метод групування можна застосовувати для розкладу полінома на множники, коли частини групування мають спільний множник.
Наприклад, можемо застосувати метод групування для розкладу на множники виразу 3x2+9x+2x+6, оскільки він може бути представлений таким чином:
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)
Однак ми не можемо використовувати метод групування для розкладу на множники виразу 2x2+3x+4x+12 , тому що винесення спільних множників із частин групування не утворить виразу, який можна винести спільним множником!
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)

Метод групування для поліномів з трьома доданками

Ми також можемо застосувати метод групування до деяких квадратичних поліномів із трьома доданками (інакше, триноми), таких як 2x2+7x+3. Оскільки ми можемо переписати цей вираз так:
2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3
Тепер можемо згрупувати, аби розкласти на множники вираз 2x2+1x+6x+3 як (x+3)(2x+1).
Щоб дізнатись більше про розклад на множники квадратичних триномів, прогляньте наступний конспект.

Бажаєте доєднатися до обговорення?

Ще немає коментарів.
Знаєте англійську? Натисніть сюди, аби побачити більше обговорень на англомовній версії Академії Хана.