Якщо ви бачите це повідомлення, то на нашому сайті виникли проблеми із завантаженням зовнішніх ресурсів.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основний вміст

Розв'язування квадратних рівнянь розкладом на множники

Дізнайтеся, як розв'язувати квадратні рівняння, виду (x-1)(x+3)=0 і як використовувати розклад на множники для розв'язання інших видів рівнянь.

Важливо знати!

Що ми вивчимо:

Досі ви розв'язували лінійні рівняння, які містять константи (звичайні числа), а також невідомі, піднесені до першого степеня: x1=x.
Можливо, ви також розв'язували деякі квадратні рівняння, які містять невідому, піднесену до другого степеня, беручи квадратний корінь з обох сторін.
Зараз ви вивчите новий спосіб розв'язання квадратних рівнянь. Зокрема, ви дізнаєтеся:
  • як розв'язувати рівняння виду (x1)(x+3)=0.
  • як використовувати різні методи розкладання на множники, щоб застосовувати їх до рівнянь інших видів (наприклад, x23x10=0) і розв'язувати їх.

Розв'язання квадратних рівнянь виду (x±a)(x±b)=0

Припустимо, нам треба знайти корені квадратичного рівняння (x1)(x+3)=0.
Це добуток двох виразів, що дорівнює нулю. Зауважте, що будь-яке значення x, яке робить нулем або (x1), або (x+3), призведе до того, що добуток цих дужок також буде рівний нулеві.
(x1)(x+3)=0x1=0x+3=0x=1x=3
Підставивши x=1 або x=3 у рівняння, ми отримаємо правдиву рівність 0=0. Отже, ці числа є розв'язками рівняння.
А тепер розв'яжемо декілька схожих рівнянь.
Розв'яжіть (x+5)(x+7)=0.
Оберіть одну відповідь:

Розв'яжіть (2x1)(4x3)=0.
Оберіть одну відповідь:

Перевіримо розуміння!

Чи можна застосувати такий же метод розв'язання для рівняння (x1)(x+3)=6?
Оберіть одну відповідь:

Примітка про правило нульового добутку

Звідки ми знаємо, що немає інших розв'язків, окрім тих двох, які ми знаходимо за допомогою нашого методу?
Відповідь дає просте, але дуже корисне правило, що називається властивістю нульового добутку:
Якщо добуток двох множникiв дорiвнює нулю, принаймнi один iз множникiв дорiвнює нулю.
Якщо підставити будь-яке значення x, окрім наших розв'язків, добуток буде складатися з двох ненульових чисел, а отже, він точно не дорівнюватиме нулю. Саме тому ми знаємо, що наші розв'язки є єдиними.

Розв'язання рівнянь методом розкладання на множники

Припустимо, ми хочемо знайти корені рівняння x23x10=0. Все що нам потрібно зробити, це розкласти на множники x23x10 і розв'язати, як ми робили це раніше!
x23x10 можна представити як (x+2)(x5).
Повне розв'язання рівняння виглядатиме так:
x23x10=0(x+2)(x5)=0Розкладіть на множники.
x+2=0x5=0x=2x=5
Тепер ваша черга розв'язати декілька рівнянь самостійно. Пам'ятайте, що різні рівняння вимагають різних методів розкладу на множники.

Розв'яжіть x2+5x=0.

Крок 1. Розкладіть x2+5x на добуток двох лінійних виразів.

Крок 2. Розв'яжіть рівняння.
Оберіть одну відповідь:

Розв'яжіть x211x+28=0.

Крок 1. Розкладіть x211x+28 на добуток двох лінійних виразів.

Крок 2. Розв'яжіть рівняння.
Оберіть одну відповідь:

Розв'яжіть 4x2+4x+1=0.

Крок 1. Розкладіть 4x2+4x+1 як добуток двох лінійних множників.

Крок 2. Розв'яжіть рівняння.
Оберіть одну відповідь:

Розв'яжіть 3x2+11x4=0.

Крок 1. Розкладіть 3x2+11x4 на добуток двох лінійних виразів.

Крок 2. Розв'яжіть рівняння.
Оберіть одну відповідь:

Зміна рівняння перед розкладанням на множники

Одна з сторін має бути нульовою.

Так виглядає розв'язок рівняння x2+2x=40х:
x2+2x=40xx2+2x40+x=0Відніміть 40 і додайте x.x2+3x40=0Зведіть подібні доданки.(x+8)(x5)=0Розкладіть на множники.
x+8=0x5=0x=8x=5
Перед тим як розкласти на множники, ми привели рівняння до такого вигляду, щоб всі доданки були з одного боку, а з іншого боку був нуль. Лише тоді ми змогли розкласти на множники та застосувати наш метод розв'язання.

Усунення спільних множників

Так виглядає розв'язок рівняння 2x212x+18=0:
2x212x+18=0x26x+9=0Поділіть на 2.(x3)2=0Розкладіть на множники.x3=0x=3
Усі доданки спочатку мали спільний множник 2, тому ми поділили всі сторони на 2 (сторона з нулем не змінилася), що зробило розкладання на множники простішим.
А тепер розв'яжемо декілька схожих рівнянь.
Знайдіть розв'язки рівняння.
2x23x20=x2+34
Оберіть всі відповіді, які підходять:

Знайдіть розв'язки рівняння.
3x2+33x+30=0
Оберіть всі відповіді, які підходять:

Знайдіть розв'язки рівняння.
3x29x20=x2+5x+16
Оберіть всі відповіді, які підходять:

Бажаєте доєднатися до обговорення?

Ще немає коментарів.
Знаєте англійську? Натисніть сюди, аби побачити більше обговорень на англомовній версії Академії Хана.