If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Якщо у вас увімкнена веб-фільтрація, будь ласка, переконайтеся, що домени *.kastatic.org та *.kasandbox.org розблоковані.

Основний вміст

Розклад на множники квадратичного виразу: різниця квадратів

Навчимось розкладати на множники квадратичні вирази, які мають вигляд різниці квадратів. Наприклад, представимо x²-16 як (x+4)(x-4).
Щоб розкласти поліном на множники, потрібно представити його у вигляді добутку двох або більше поліномів. Це, у своїй суті, обернена дія до множення поліномів.
У цьому конспекті ми навчимось застосовувати формулу різниці квадратів для розкладу деяких поліномів на множники. Якщо ви не знаєте формулу різниці квадратів, будь ласка, перегляньте наше відео перед тим, як продовжити.

Вступ: Формула різниці квадратів

Кожен поліном, що є різницею квадратів, можна розкласти на множники, застосовуючи наступну формулу:
a2b2=(a+b)(ab)
Зверніть увагу, що a і b у формулі можуть бути будь-якими алгебраїчними виразами. Наприклад, для a=x і b=2 ми отримуємо наступне:
x222=(x+2)(x2)
Поліном x24, представлений у вигляді добутку, матиме такий вигляд: (x+2)(x2). Ми можемо розкрити дужки, щоб обґрунтувати цей розклад на множники:
(x+2)(x2)=x(x2)+2(x2)=x22x+2x4=x24
Тепер, коли ми розуміємо формулу, застосуємо її, щоб розкласти на множники ще декілька поліномів.

Приклад 1: Розкладіть на множники x216

Обидва доданки, x2 і 16, є квадратами, оскільки x2=(x)2 і 16=(4)2. Іншими словами:
x216=(x)2(4)2
Оскільки ці два квадрати віднімаються, ми бачимо, що цей поліном є різницею квадратів. Ми можемо застосувати формулу різниці квадратів, щоб розкласти цей вираз на множники:
a2b2=(a+b)(ab)
У нашому випадку a=x та b=4. Отже, поліном можна розкласти так:
(x)2(4)2=(x+4)(x4)
Можемо перевірити свій розв'язок, перемноживши вирази в дужках. Їхній добуток має бути x216.

Перевіримо, як ви зрозуміли!

1) Розкладіть на множники x225.
Оберіть одну відповідь:

2) Розкладіть на множники x2100.

Перевіримо розуміння!

3) Чи можемо ми застосувати формулу різниці квадратів, щоб розкласти x2+25?
Оберіть одну відповідь:

Приклад 2: Розкладіть на множники 4x29

Коефіцієнт біля найбільшого степеня не обов'язково має дорівнювати 1, щоб застосувати формулу різниці квадратів. Насправді, формулу різниці квадратів можна застосувати і для цього виразу!
Це тому, що 4x2 і 9 є квадратами, оскільки 4x2=(2x)2 і 9=(3)2. Ми можемо використати цю інформацію, щоб розкласти поліном на множники, застосувавши формулу різниці квадратів:
4x29=(2x)2(3)2=(2x+3)(2x3)
Швидка перевірка множенням свідчить, що наша відповідь правильна.

Перевіримо, як ви зрозуміли!

4) Розкладіть на множники 25x24.
Оберіть одну відповідь:

5) Розкладіть на множники 64x281.

6) Розкладіть на множники 36x21.

Складніші завдання

7*) Розкладіть на множники x49.

8) Розкладіть на множники 4x249y2.

Бажаєте доєднатися до обговорення?

Ще немає коментарів.
Знаєте англійську? Натисніть сюди, аби побачити більше обговорень на англомовній версії Академії Хана.