Якщо ви бачите це повідомлення, то на нашому сайті виникли проблеми із завантаженням зовнішніх ресурсів.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основний вміст

Розклад на множники квадратичних виразів загального вигляду

Поєднаємо всі вивчені методи розкладу на множники квадратичних виразів, щоб застосовувати їх до будь-яких квадратичних виразів.

Важливо знати!

В цьому конспекті ми застосовуватимемо такі методи:

Що ми дізнаємось:

У цьому конспекті ми навчимось застосовувати ці методи разом, щоб повністю розкладати на множники квадратичні вирази будь-якої форми.

Повторення методів розкладу на множники

МетодПрикладКоли застосовуємо?
Винесення спільних множників за дужки= 6x2+3x=3x(2x+1)Якщо всі доданки у поліномі мають спільний множник.
Теорема Вієта= x2+7x+12=(x+3)(x+4)Для поліномів вигляду x2+bx+c, для яких можна знайти два числа, що в добутку рівні c, а в сумі рівні b.
Групування= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)Якщо для полінома вигляду ax2+bx+c можна знайти два числа, які в добутку рівні ac, а в сумі рівні b.
Повний квадарат (квадрат суми або різниці)= x2+10x+25=(x+5)2Якщо перший і останній доданки є квадратами, а середній є подвійним добутком їх коренів квадратних.
Різниця квадратів=  x29=(x3)(x+3)Якщо вираз є різницею двох квадратів.

Поєднаємо ці методи

На практиці вам рідко будуть підказувати, який метод розкладання на множники використовувати. Тому важливо розробити собі інструкцію, яка допоможе легше розкладати вирази на множники.
Ось один приклад такої інструкції, в якій є кілька питань для визначення, який метод розкладання полінома на множники застосовувати.

Розкладаємо квадратичні вирази

Перед початком розкладання полінома на множники, варто записати вираз у стандартній формі.
Потім ви можете перейти до списку запитань:
Питання 1: Чи є спільний множник?
Якщо ні, переходьте до наступного питання. Якщо так, винесіть спільний множник та й переходьте до наступного питання.
Винесення спільного множника є дуже важливим кроком у розкладанні на множники, оскільки воно зменшує коефіцієнти. А це допомагає легше помічати формули!
Питання 2: Чи є різниця квадратів (наприклад, x216 або 25x29)?
Якщо так, розкладайте за формулою a2b2=(a+b)(ab). Якщо ні, переходьте до наступного питання.
Питання 3: Чи є повний квадрат (наприклад, x210x+25 або 4x2+12x+9)?
Якщо так, розкладайте за формулою a2±2ab+b2=(a±b)2. Якщо ні, переходьте до наступного питання.
Питання 4:
a.) Чи вираз має вигляд x2+bx+c?
Якщо ні, переходьте до Питання 5. Якщо так, переходьте до b).
b.) Чи є такі числа, які в добутку рівні c, а в сумі рівні b?
Якщо так, розкладайте за допомогою теореми Вієта. В іншому випадку квадратичний вираз не можна розкласти далі.
Питання 5: Чи є такі числа, які в добутку рівні ac, а в сумі рівні b?
Якщо ви дійшли до цього моменту, вираз має мати вигляд ax2+bx+c, де a1. Якщо є такі числа, які в добутку рівні ac, а в сумі рівні b, розкладайте за допомогою методу групування. В іншому випадку квадратичний вираз не можна розкласти далі.
Ця інструкція допоможе впевнитись, що ви розклали вираз повністю!
Пам'ятаючи про це, розгляньмо кілька прикладів.

Приклад 1: Розкладіть на множники 5x280

Зверніть увагу, що вираз вже має стандартну форму. Отже, ми можемо перейти до питань.
Питання 1: Чи є спільний множник?
Так. Спільний множник для 5x2 і 80 це 5. Ми можемо винести його наступним чином:
5x280=5(x216)
Питання 2: Чи є різниця квадратів?
Так. x216=(x)2(4)2. Ми можемо використати формулу різниці квадратів, щоб продовжити розкладання полінома.
5x280=5((x)2(4)2)=5(x+4)(x4)
Вираз більше не містить квадратичних елементів, отже ми повністю розклали поліном на множники.
Отже, маємо: 5x280=5(x+4)(x4).

Приклад 2: Розкладіть на множники 4x2+12x+9

Квадратичний вираз знову має стандартну форму. Перейдемо до питань!
Питання 1: Чи є спільний множник?
Ні. Доданки 4x2, 12x і 9 не мають спільного множника. Наступне питання.
Питання 2: Чи є різниця квадратів?
Ні. Є доданок з x, тому це не може бути різницею квадратів. Наступне питання.
Питання 3: Чи є повний квадрат?
Так. Перший доданок є квадратом, оскільки 4x2=(2x)2, і останній доданок є квадратом, оскільки 9=(3)2. Також середній доданок є подвоєним добутком коренів першого і останнього, оскільки 12x=2(2x)(3).
Ми можемо застосувати формулу повного квадрата, щоб розкласти цей квадратичний вираз на множники.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2
Отже, маємо: 4x2+12x+9=(2x+3)2.

Приклад 3: Розкладіть на множники 12x63+3x2

Цей квадратичний вираз представлений не у стандартній формі. Ми можемо переписати його як 3x2+12x63, а потім переходити до питань.
Питання 1: Чи є спільний множник?
Так. Спільний множник для 3x2, 12x та 63 це 3. Ми можемо винести його наступним чином:
3x2+12x63=3(x2+4x21)
Питання 2: Чи є різниця квадратів?
Ні. Наступне питання.
Питання 3: Чи є повний квадрат?
Ні. Зверніть увагу, що 21 не є квадратом, тому це не може бути повним квадратом. Наступне питання.
Питання 4a: Чи вираз має вигляд x2+bx+c?
Так. Отриманий квадратичний вираз x2+4x21 має таку форму.
Питання 4b: Чи є такі числа, які в добутку рівні c, а в сумі рівні b?
Так. Зокрема, є множники числа 21, сума яких дорівнює 4.
Оскільки 7(3)=21 та 7+(3)=4, ми можемо продовжити розкладати вираз:
3(x2+4x21)=3(x2+4x21)=3(x+7)(x3)
Отже, маємо: 3x2+12x63=3(x+7)(x3).

Приклад 4: Розкладіть на множники 4x2+18x10

Зверніть увагу, що вираз вже має стандартну форму.
Питання 1: Чи є спільний множник?
Так. Спільний множник для 4x2, 18x та 10 це 2. Ми можемо винести його наступним чином:
4x2+18x10=2(2x2+9x5)
Питання 2: Чи є різниця квадратів?
Ні. Наступне питання.
Питання 3: Чи є повний квадрат?
Ні. Наступне питання.
Питання 4a: Чи вираз має вигляд x2+bx+c?
Ні. Коефіцієнт біля найбільшого степеня рівний 2. Наступне питання.
Питання 5: Чи є такі числа, які в добутку рівні ac, а в сумі рівні b?
Наш вираз має вигляд 2x2+9x5, тож ми хочемо знайти числа, які в добутку рівні 2(5)=10, а в сумі рівні 9.
Оскільки (1)10=10 та (1)+10=9, відповідь - так.
Тепер ми можемо представити середній доданок як 1x+10x і застосувати метод групування:
= 2(2x2+9x5)=2(2x21x+10x5)Розкладаємо середній доданок=2((2x21x)+(10x5))Групуємо=2(x(2x1)+5(2x1))Виносимо спільні множники=2(2x1)(x+5)Виносимо за дужки 2x1

Перевірте свої знання

1) Розкладіть на множники повністю 2x2+4x16
Оберіть одну відповідь:

2) Розкладіть на множники повністю 3x260x+300.

3) Розкладіть на множники повністю 72x22.

4) Розкладіть на множники повністю 5x2+5x+15.
Оберіть одну відповідь:

5) Розкладіть на множники повністю 8x212x8.

6) Розкладіть на множники повністю 5618x+x2.

7) Розкладіть на множники повністю 3x2+27.
Оберіть одну відповідь:

Бажаєте доєднатися до обговорення?

Ще немає коментарів.
Знаєте англійську? Натисніть сюди, аби побачити більше обговорень на англомовній версії Академії Хана.