Якщо ви бачите це повідомлення, то на нашому сайті виникли проблеми із завантаженням зовнішніх ресурсів.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основний вміст

Розклад на множники квадратичного виразу: коефіцієнт біля найбільшого степеня ≠ 1

Навчимось розкладати квадратичні вирази як добуток двох лінійних біномів. Наприклад, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Важливо знати!

Метод групування можна використовувати для розкладання многочленів з 4 доданків шляхом винесення спільного множника декілька разів. Якщо не пам'ятаєте цього, то перегляньте конспект Розклад на множники методом групування.

Що ми вивчимо:

У цій темі ми будемо використовувати групування, щоб розкласти на множники квадратичні вирази, у яких коефіцієнт біля найбільшого степеня відмінний від 1. Наприклад, 2x2+7x+3.

Приклад 1: Розкладіть на множники 2x2+7x+3

Оскільки коефіцієнт біля найбільшого степеня у виразі (2x2+7x+3) дорівнює 2, ми не можемо використовувати теорему обернену до теореми Вієта для розкладання цього квадратичного виразу на множники.
Щоб розкласти 2x2+7x+3 на множники, ми маємо знайти числа, які в добутку дорівнюють 23=6 (коефіцієнт біля найбільшого степеня множений на вільний член), а в сумі дорівнюють 7 (коефіцієнт біля x).
Оскільки 16=6 і 1+6=7, шуканими числами є 1 і 6.
Ці числа підказують нам, як розкласти доданок з x в початковому виразі. Отже, ми можемо представити наш поліном так:
2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3.
Тепер ми можемо застосувати метод групування до полінома:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Зводимо доданки=x(2x+1)+3(2x+1)Виносимо спільний множник за дужки=x(2x+1)+3(2x+1)Ще один спільний множник!=(2x+1)(x+3)Виносимо за дужки 2x+1
Після розкладу на множники вираз має такий вигляд: (2x+1)(x+3).
Ми можемо перевірити свій розв'язок, показавши, що множники в добутку дорівнюють 2x2+7x+3.

Підсумок

Загалом, ми можемо використати наступні кроки для розкладання квадратичних виразів вигляду ax2+bx+c:
  1. Почніть з пошуку двох чисел, які в добутку дають ac, а в сумі дають b.
  2. Використовуйте ці числа, щоб розкласти доданок з x.
  3. Застосуйте метод групування для розкладу квадратичного виразу.

Перевірте свої знання

1) Розкладіть на множники 3x2+10x+8.
Оберіть одну відповідь:

2) Розкладіть на множники 4x2+16x+15.

Приклад 2: Розкладіть на множники 6x25x4

Щоб розкласти 6x25x4, нам потрібно знайти два цілі числа, добуток яких дорівнює 6(4)=24, а сума дорівнює 5.
Оскільки 3(8)=24 і 3+(8)=5, шуканими числами є 3 і 8.
Тепер ми можемо записати доданок 5x як суму 3x і 8x і застосувати метод групування для розкладу полінома:
= 6x2+3x8x4(1)=(6x2+3x)+(8x4)Зводимо спільні доданки(2)=3x(2x+1)+(4)(2x+1)Виносимо спільні множники(3)=3x(2x+1)4(2x+1)Спрощуємо(4)=3x(2x+1)4(2x+1)Ще один спільний множник!(5)=(2x+1)(3x4)Виносимо за дужки 2x+1
Після розкладу на множники вираз має такий вигляд: (2x+1)(3x4).
Ми можемо перевірити свій розв'язок, показавши, що множники в добутку дорівнюють 6x25x4.
Зверніть увагу: У кроці (1) помітно, що через те, що третій доданок є від’ємним, між групуваннями було вставлено "+" для збереження еквівалентності виразу до оригіналу. Також у кроці (2) нам потрібно було винести від'ємний спільний множник з другої групи, щоб виявити спільний множник 2x+1. Будьте уважні зі знаками!

Перевірте свої знання

3) Розкладіть на множники 2x23x9.
Оберіть одну відповідь:

4) Розкладіть на множники 3x22x5.

5) Розкладіть на множники 6x213x+6.

Коли цей метод корисний?

Очевидно, цей метод корисний для розкладу квадратичних виразів вигляду ax2+bx+c, навіть коли a1.
Однак не завжди можливо розкласти квадратичний вираз такого вигляду за допомогою нашого методу.
Наприклад, розглянемо вираз 2x2+2x+1. Щоб розкласти його, нам потрібно знайти два цілі числа, добуток яких дорівнює 21=2, а сума дорівнює 2. Як би ви не намагалися, ви не знайдете таких двох чисел.
Отже, наш метод не підходить для 2x2+2x+1, а також для багатьох інших квадратичних виразів.
Пам'ятайте, що якщо цей метод не працює, це означає, що вираз неможливо розкласти як (Ax+B)(Cx+D), де A, B, C і D є цілими числами.

Чому цей метод працює?

Давайте детально розглянемо, чому цей метод взагалі правильний. Буде багато тексту, але, будь ласка, витерпіть нас!
Припустимо, що квадратичний вираз загального вигляду ax2+bx+c можна розкласти як (Ax+B)(Cx+D) з цілими числами A, B, C і D.
Коли ми розкриваємо дужки, отримуємо квадратичний вираз (AC)x2+(BC+AD)x+BD.
Оскільки цей вираз еквівалентний ax2+bx+c, відповідні коефіцієнти у двох виразах повинні бути рівними! Це дає нам наступне співвідношення між усіма невідомими літерами:
(ACa)x2+(BC+ADb)x+(BDc)
Тепер нехай m=BC і n=AD.
(ACa)x2+(BCm+ADnb)x+(BDc)
Згідно з цим визначенням...
m+n=BC+AD=b
і
mn=(BC)(AD)=(AC)(BD)=ac
І так, BC та AD є тими двома цілими числами, які ми завжди шукаємо, коли використовуємо цей метод розкладання!
Наступний крок у методі після знаходження m та n — розділити доданок з x (b) згідно з m та n і розкласти за допомогою групування.
Дійсно, якщо ми розділимо доданок з x, (BC+AD)x, на (BC)x+(AD)x, то зможемо застосувати групування, щоб винесенням спільних множників перетворити вираз до вигляду(Ax+B)(Cx+D).
Отже, в цьому розділі ми...
  • почали із загального вигляду виразу ax2+bx+c і розбиття на множники в загальному випадку (Ax+B)(Cx+D),
  • змогли знайти два числа, m та n, такі, що mn=ac та m+n=b (ми зробили це, позначивши m=BC та n=AD),
  • розділили доданок з x (bx) на mx+nx, і змогли розбити вираз у загальному вигляді знову на (Ax+B)(Cx+D).
Цей процес показує, що якщо вираз дійсно можна розкласти як (Ax+B)(Cx+D), цим методом ми точно зможемо знайти такий розклад.
Дякую за допомогу!

Бажаєте доєднатися до обговорення?

Ще немає коментарів.
Знаєте англійську? Натисніть сюди, аби побачити більше обговорень на англомовній версії Академії Хана.