Якщо ви бачите це повідомлення, то на нашому сайті виникли проблеми із завантаженням зовнішніх ресурсів.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основний вміст

Розклад на множники квадратичних виразів: коефіцієнт біля x^2 дорівнює одиниці.

Дізнайтесь, як розкладати квадратичні поліноми у вигляді добутку двох біномів. Наприклад, x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Важливо знати!

Розклад полінома на множники передбачає запис його як добутку двох або більше поліномів. Це є протилежною дією до множення поліномів. Якщо бажаєте знати більше, перегляньте конспект на цю тему.

Що ми дізнаємось:

Ви дізнаєтесь як розкладати на множники поліноми виду x2+bx+c у вигляді добутку двох біномів.

Ще раз про множення біномів

Розглянемо вираз (x+2)(x+4).
Щоб знайти добуток, можемо декілька разів використати розподільну властивість.
(x+2)(x+4)=(x+2)(x)+(x+2)(4)=x2+2x+4x+8=x2+6x+8
Отже, ми отримали (x+2)(x+4)=x2+6x+8.
Тепер можемо побачити, що x+2 і x+4 є множниками x2+6x+8, але як же знайти ці множники, маючи лише готовий вираз?

Розклад триномів на множники

Щоб розкласти на множники трином ( поліном з 3 доданками), можемо скористатися нашими знаннями про множення біномів.
Іншими словами, якщо дано поліном x2+6x+8, ми можемо розкласти його на множники та записати у вигляді двох біномів: (x+2)(x+4).
А тепер розглянемо декілька прикладів.

Приклад 1: Розкладіть на множники x2+5x+6

Щоб розкласти на множники вираз x2+5x+6, необхідно знайти два числа, що в добутку дадуть 6 (константу), та в сумі дадуть 5 (коефіцієнт біля змінної x).
Цими числами є 2 та 3 оскільки 23=6 та 2+3=5.
Додамо кожне з чисел до змінної x, утворивши два множники-біноми: (x+2) та (x+3).
У висновку, ми розклали трином на множники:
x2+5x+6=(x+2)(x+3)
Щоб перевірити себе, можемо перемножити ці два біноми.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6
Добутком x+2 та x+3 і справді є x2+5x+6. Наш розклад є правильним!

Перевірте свої знання

1) Розкладіть на множники x2+7x+10.
Оберіть одну відповідь:

2) Розкладіть на множники x2+9x+20.

Погляньмо на ще декілька прикладів.

Приклад 2: Розкладіть на множники x25x+6

Щоб розкласти на множники x25x+6, необхідно знайти два числа, що в добутку дадуть 6, та в сумі дадуть 5.
Цими числами є 2 та 3 оскільки (2)(3)=6 та (2)+(3)=5.
Додамо кожне з чисел до змінної x утворивши два множники-біноми: (x+(2)) та (x+(3)).
Розклад на множники зображений нижче:
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)
Цікаве спостереження: Можна помітити, що обидва числа для розкладу на множники x25x+6 були від'ємними (2 та 3). Це тому, що їх добуток має бути додатним (6), а сума від'ємною (5).
Отже, при розкладі на множники x2+bx+c, якщо c додатне та b від'ємне, обидва множники будуть від'ємними!

Приклад 3: Розкладіть на множники x2x6

Можемо переписати x2x6 як x21x6.
Щоб розкласти на множники x21x6, необхідно знайти два числа, що в добутку дадуть 6, та в сумі дадуть 1.
Цими числами є 2 та 3 оскільки (2)(3)=6 та 2+(3)=1.
Додамо кожне з чисел до змінної x утворивши два множники-біноми: (x+2) та (x+(3)).
Розклад на множники зображений нижче:
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)
Цікаве спостереження: Можна помітити, що для розкладу на множники x2x6, ми використали одне додатне число (2), та одне від'ємне (3). Це тому, що їх добуток має бути від'ємним (6).
Отже, при розкладі на множники x2+bx+c, якщо c від'ємне, один з множників буде додатним, а інший від'ємним.

Підіб'ємо підсумки

Щоб розкласти на множники трином виду x2+bx+c, ми маємо знайти множники c, що в сумі дадуть b.
Уявімо, що цими множниками є числа m та n, такі, що c=mn, та b=m+n, тоді x2+bx+c=(x+m)(x+n).

Перевірте свої знання

3) Розкладіть на множники x28x9.

4) Розкладіть на множники x210x+24.

5) Розкладіть на множники x2+7x30.

Чому це працює?

Щоб зрозуміти, чому такий метод розкладу на множники дійсно працює, повернемось до початкового прикладу, де ми розклали x2+5x+6 як (x+2)(x+3).
Якщо знову перемножити два біноми, побачимо, як впливають числа 2 та 3 на результат x2+5x+6.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23
Можемо побачити, що коефіцієнт при змінній x є сумою чисел 2 та 3, а константа є добутком 2 та 3.

Метод (x+m)(x+n) – добуток сум

Повторимо дії, що виконали над виразом (x+2)(x+3) для (x+m)(x+n):
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn
У підсумку, отримаємо таке рівняння:
(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn
Це і є добуток сум.
Це показує чому, після вираження x2+bx+c як x2+(m+n)x+mn (знайшовши два числа m та n такі, що b=m+n та c=mn), ми можемо розкласти трином на такі множники (x+m)(x+n).

Перевіримо ваші знання

6) Чи можна використати цей метод щоб розкласти на множники 2x2+3x+1?
Оберіть одну відповідь:

Коли ми можемо використовувати цей метод?

Загалом, метод добутку сум можна застосовувати, лише коли ми можемо переписати трином як (x+m)(x+n), де m та n якісь цілі числа.
Таким чином, першим членом полінома має бути x2 (а не, наприклад, 2x2). Тільки в такому випадку ми можемо використати цей метод. Це тому, що добуток (x+m) та (x+n) завжди буде поліномом, з першим членом x2.
Однак, не всі триноми, в яких x2 - це перший член, можуть бути розкладені на множники. Наприклад, x2+2x+2 розкласти на множники неможливо, оскільки не існує двох цілих чисел, що в сумі дадуть 2 та в добутку дадуть 2.
В наступних уроках ми вивчимо ще більше методів, що допоможуть нам розкладати поліноми на множники.

Складніші завдання

7*) Розкладіть на множники x2+5xy+6y2.

8*) Розкладіть на множники x45x2+6.

Бажаєте доєднатися до обговорення?

Ще немає коментарів.
Знаєте англійську? Натисніть сюди, аби побачити більше обговорень на англомовній версії Академії Хана.